决胜21点

影片开头部分提到了一个很有名的问题：假设你正在参加一个游戏节目，你被要求在三扇门中选择一扇。

其中一扇后面有一辆车，其余两扇后面则是羊。

你选择了一扇门，假设是1号门，然后知道门后面有什么的主持人开启了另一扇后面有羊的门，假设是3号门。

然后他问你：“你想选择2号门吗？

”你会如何回答？

显然应该选最有可能赢得车的做法。

实际上，这是一个用概率论可以轻松搞定的问题，但是，历史上这个问题刚被提出的时候却引起了相当大的争议。

这个问题源自美国电视娱乐节目Let’s Make a Deal，内容如前所述。

作为吉尼斯世界纪录中智商最高的人，Savant在Parade Magazine对这一问题的解答是应该换，因为换了之后有2/3的概率赢得车，不换的话概率只有1/3。

她的这一解答引来了大量读者信件，认为这个答案太荒唐了。

因为直觉告诉人们：如果被打开的门后什么都没有，这个信息会改变剩余的两种选择的概率，哪一种都只能是1/2。

持有这种观点的大约有十分之一是来自数学或科学研究机构，有的人甚至有博士学位。

还有大批报纸专栏作家也加入了声讨Savant的行列。

在这种情况下，Savant向全国的读者求救，有数万名学生进行了模拟试验。

一个星期后，实验结果从全国各地飞来，是2/3和1/3。

随后，MIT的数学家和阿拉莫斯国家实验室的程序员都宣布，他们用计算机进行模拟实验的结果，支持了Savant的答案。

当然，原问题的描述确实有一些含混不清的成分，如果加上下述条件可以使这个答案更准确：1、参赛者在三扇门中挑选一扇。

他并不知道内里有甚么。

2、主持人知道每扇门后面有什么。

3、主持人必须开启剩下的其中一扇门，并且必须提供换门的机会。

4、主持人永远都会挑一扇有羊的门。

5、如果参赛者挑了一扇有羊的门，主持人必须挑另一扇有羊的门。

6、如果参赛者挑了一扇有车的门，主持人随机在另外两扇门中挑一扇有羊的门。

7、参赛者会被问是否保持他的原来选择，还是转而选择剩下的那一道门。

这样，问题的答案是：可以。

当参赛者转向另一扇门而不是继续维持原先的选择时，赢得汽车的机会将会加倍。

因为：有三种可能的情况，全部都有相等的可能性(1/3) 参赛者挑一号羊，主持人挑二号羊。

转换将赢得车。

参赛者挑二号羊，主持人挑一号羊。

转换将赢得车。

参赛者挑汽车，主持人挑两头山羊的任何一头。

转换将失败。

可以看出，这是一个概率论和人的直觉不太符合的例子，这告诉我们在做基于量化的判断的时候，要以事实和数据为依据，而不要凭主观来决定。

否则，想当然的结果往往会在我们不自知的情况下，把我们引入歧途。

如片中的老师所说：在校园里骑车可比骑头羊要酷多了。

问题是你要做出正确的选择，而这需要以事实为依据。

【注】前文提到的这个问题的历史参考自http://tieba.baidu.com/f?kz=114972828

# Experience is an important thing in one's life. For himself, it's valueable treasure, for others, it's a reference.# “金玉满堂，莫之能守；富贵而骄，自遗其咎”# Rely on those old guys, they know who should make a call to. But after you get the number, and make sure that's a correct one, you can leave them alone and do it by yourself. The problem is you will never know if the number is correct and the only one. So rely on them, those old.# Cherish your genius, not waste or abuse them, cause sometimes you can't go back.

老片子，一贯的高智商犯罪，以及一贯的好莱坞式剧情。

不过周末咱就想来桶爆米花，你们爱咋咋。

看完电影我看了下影评，不少人在讨论21点玩法和一车两羊的概率问题，恕我愚钝，咱看不懂也不想看，而且这部情节剪辑都不精彩的电影，我都提不上兴趣抠细节。

不过幸好，有凯文·史派西和劳伦斯·菲什伯恩坐镇，吾心甚慰，否则不够惊艳的年轻男女主们还真不够我看的，毕竟好莱坞里面这样的一大把。

所以，电影里明线是学霸的“光辉岁月”，而我更喜欢暗线，那是两尊大神（一位快要退休的赌场保安与排兵布阵隐居幕后的MIT教授）长达几十年的“猫鼠游戏”，哈哈，狡猾的狐狸与残暴的狼之间的斗争，反间计加借刀杀人，真真精彩！

衬着最后小男主那句耀眼经历的陈述略有些尴尬。

反正我是不觉得哈佛会因为如此“耀眼”的经历而给他奖学金，双方以为的“耀眼”还是很有误差。

当然，咱愚钝之人从来不去想象高智商人的生活方式，毕竟人家去哪里都吃的开，有资格冒险也有资格火中取栗。

但是，讲真，再聪明也别把伙伴给丢了，否则那就是你输的时候。

关于天才、斗智、冒险的题材，往往能吸引我这样平凡的人，无非是在安全、舒适的情况下就能体会别人的成功和刺激，这种有点自欺欺人的念头，会把影片原本励志的意图冲淡一些，好在看到用智慧掌控自己的命运是件大快人心的事。

看这部电影才知道哈佛医学院需要30万美金的高昂学费，才知道优等生求学也会有麻烦，电影里的年轻人选择了拉斯维加斯的赌场，但凭的不是运气，是“数学”，那种看起来像是百战百胜、不劳而获的方法，很快叫人欲望膨胀，忘乎所以了。

但赌博是危险的游戏，没有人能全身而退，这在几乎所有涉及该题材的电影里得到证实，所以在一切看似完美的情况下突然就转折了，辉煌瞬间消失，从天堂直落地狱……好在我们的主人公是天才，天才总能找到转败为胜的关键，所以我们总能“意外”看到一个完美结局。

《玩转21点》作为商业片具有相当的娱乐性，没有叫人失望。

只是对电影有两处稍微有点遗憾：1、 凯文史派西扮演的教授应该是集智慧之大成者，但后期表现出的贪婪和阴险有点太生硬、太突然了；2、年轻的男主角获得成功立即变得自负、情绪化而落入众叛亲离的境地，未免有落入俗套之嫌。

三年前在法国学旅游管理时，听了一堂课由摩纳哥赌场总经理上的课，讲的是和博彩业有关的东西。

当时他和我们开玩笑说，你们进了赌场，我想让你们中谁赢，谁就能赢，想让谁输，谁就会输，意思是他们的“系统”很强大。

不过他马上接了一句，说是也有人比“系统”更强大，就是一个数学家，他说那家伙过去几年里，每年就都坐游轮环游世界，跑到全球的几大赌场赌一把，赢了大把钱就走。

这位高人据说就是算牌的，让众赌场损失严重。

不得已，他们把那位高人列入了黑名单，每次他一出现，就会有人高马大的保镖把他架出去，到底会不会像电影里描绘得那样暴打一顿，我就不知道，估计还是不会。

简单阐述一下问题：一个游戏：有3扇关闭着的门，其中2扇门后面各有一只羊，另一扇门后面有一辆车。

参与者：一个游戏者和一个主持人。

主持人事先知道各扇门后的物品，而游戏者不知道。

游戏目的：游戏者选择到车。

游戏过程：1、游戏者随机选定一扇门；2、在不打开此扇门的情况下，主持人打开另一扇有羊的门。

3、此时面对剩下2扇门，游戏者有一次更改上次选择的机会。

问题是：游戏者是否应该改变上次的选择，以使选到车的概率较大？

答案：不改变选择，得到车的概率是1/3。

改变选择，得到车的概率是2/3。

解释：1、若想不改变选择选到车：第一步：概率问题：若不改变选择，要选到车，则游戏者必须第一次就选中车。

此时选中车的概率是1/3（原理详见中学数学课本）。

第二步：必然问题：因为游戏者不会改变选择，所以，之后主持人的任何行为——开门也好关门也好敲门也好摔门也好——都与游戏者最初做出的选择无关。

最终：概率还是1/3。

2、若改变选择选到车：第一步：概率问题：若要通过改变选择选到车，则游戏者必须第一次选中的是羊。

此时选中羊的概率是2/3（原理详见中学数学课本）。

第二步：必然问题：之后，主持人会打开另一扇有羊的门。

此时游戏者面对剩下的2扇门，改变选择的方式只有一种，就是选上次没有选的那扇门。

（这之中没有几分之几概率的存在。

打个简单比方，一个包子和一个馒头放在你面前，你第一步先拿了个包子在手上；然后第二步我叫你“换一个拿”，显然你只能选剩下的那个馒头。

在第二步中，你并没有选择包子或馒头的机会。

）最终：选到车的概率还是2/3。

--这个问题很早以前看到过，当时算了好半天，现在却忘记了当时算的结果。

今晚在豆瓣看到一些评论和讨论，总觉得都说的很复杂拖沓，说实话绕来绕去大多我都没怎么看明白。。

于是自己静坐了一会想到了这样的一个理解方法。

标题中厚颜无耻的用了“最简单解释”几个字，这只是我能想到的最简单理解方法，大家若有更好的方法，也请提出，欢迎讨论。

要注意的是，这已经是一个有正确答案的题目了，对1/3和2/3答案有怀疑的各位童鞋，还是先去怀疑怀疑自己吧。

事情在自己脑海中想的很简单，化为文字就显得很臃肿拖沓了。

短短的这么点字，花了20多分钟删删改改，力求简单明快，但比起思维的流畅还是差了很多。

高考91分的语文成绩还是凸显了我语言表达的不足么-。

-似乎很久没有思考过这样的数学问题了，现在觉得脑子清爽很多。

最后，这电影我还没看呢，评价3星是因为，这是对整体评价影响程度最低的选择。

这个电音很赞啊，男主很帅，女主差点但也不错。

看了别人写的分析二十一点的记牌算法很受启发。

但心中还是有个疑问：如果玩家按照最优的决策方案玩牌，在不计牌的冷热情况下，玩家的胜率究竟是多大？

会是50%么？

为此写了一个小程序做了下模拟运算。

（这个分析不考虑桌面已有牌对于后续牌的影响，也就是说假设新出的牌从A到K出现的概率都是1/13，同时还假设当双方同时出现21点的情况时，玩家获胜）首先定义“正确的决策方案”。

当玩家手中的牌达到12点及以上时，玩家就要开始做出选择，究竟继续叫牌还是停止。

在N点上停止抓牌获胜的概率是：庄家在N点及以下所有点数抓爆的概率总和。

比如玩家有14点，并停止抓拍，他获胜的可能就是：庄家在12点抓爆的概率+13点抓爆的概率+14点抓爆的概率在N点上继续抓牌（只抓一张）获胜的概率是：玩家抓到每张不会冒的牌a的概率乘以庄家在N+a点及以下抓爆的概率。

比如庄家在14点时选择继续抓牌，他获胜的概率是：（玩家抓A的概率*（庄家在15点抓爆的概率+玩家在14点抓爆的概率））+（玩家抓2的概率*（庄家在16点抓爆的概率+玩家在15点抓爆的概率+庄家在14点抓爆的概率）+……+（玩家抓7的概率*（庄家在21点抓爆的概率+玩家在20点抓爆的概率+……+玩家在12点抓爆的概率））在这里，庄家在N点抓爆的概率的含义是：如果庄家一直抓牌，直到抓爆为止，在抓爆之前的点数为N。

N为特定数出现的概率为多少。

这个数值可以通过计算机模拟运算近似生成。

通过一千万次模拟，得出的结论是：N = 12: P(12) = 0.030543N = 13: P(13) = 0.0438322N = 14: P(14) = 0.0569275N = 15: P(15) = 0.0711665N = 16: P(16) = 0.0864059N = 17: P(17) = 0.102366N = 18: P(18) = 0.1193312N = 19: P(19) = 0.1372943N = 20: P(20) = 0.2131834N = 21: P(21) = 0.13895注：当庄家出现21点时，仍然需要抓牌，表示此时玩家已经出现21点，庄家已经必输。

在所有抓爆的情况中，在21点处抓爆的概率为12.895%利用以上的数据，根据上面的公式可以分析出最优的决策方案：if you get 12 and you stop, your chance to win is 0.0304902If you get 12 and you continue, your chance to win is 0.31595218if you get 13 and you stop, your chance to win is 0.07414If you get 13 and you continue, your chance to win is 0.23902911if you get 14 and you stop, your chance to win is 0.1311739If you get 14 and you continue, your chance to win is 0.17278956if you get 15 and you stop, your chance to win is 0.20239449If you get 15 and you continue, your chance to win is 0.12294503if you get 16 and you stop, your chance to win is 0.28873807If you get 16 and you continue, your chance to win is 0.083663836if you get 17 and you stop, your chance to win is 0.39118338If you get 17 and you continue, your chance to win is 0.053572804if you get 18 and you stop, your chance to win is 0.5106556If you get 18 and you continue, your chance to win is 0.031362183if you get 19 and you stop, your chance to win is 0.6479789If you get 19 and you continue, your chance to win is 0.015793376if you get 20 and you stop, your chance to win is 0.861114If you get 20 and you continue, your chance to win is 0.0057030767if you get 21 and you stop, your chance to win is 1.0If you get 21 and you continue, your chance to win is 0.0由此可知，当玩家手里的牌小于15点时，需要继续叫牌，否则停止。

最后是再次进行模拟，找到依据最优决策方案得到的获胜概率。

模拟的次数依然是一千万次，最终的结果是：if you followed the right method, your chance to win is 0.45998985也就是说，玩家正常的胜率只有46%。

如果按照电影中的算法，算牌的点数每增加一点，玩家获胜的概率增加0.5%，那么点数至少需要达到8点以上才能算是热牌。

然而即使点数达到了18点超级热牌，玩家的胜率也只有55%，呃。。。

所以说靠技术赚大钱还是很难的。

其实看了这个电影，最大的感受就是想知道关于米奇教授一开始提出的“车和羊”的概率问题以及整个团队是如何通过21点的手法来赢取巨额赌金的。

结果上豆瓣上一搜影评，还真是，大家都在讨论这个概率问题，而不是电影本身。

下面我们首先来回顾一下这个问题：在一个竞猜节目上，你面前有三道门，主持人告诉你其中两扇门后面是羊，一扇门是汽车，你选对中汽车你就赢了。

然后你随便选了一扇门。

这时候，主持人（事先知道哪一扇门后有汽车）打开了一扇后面是羊的门，问你要不要变换你最初的选择，这时，你为了取胜，是否应该变换选项呢？

这是一个非常著名的概率问题（概率问题本来就是我高中时候最头疼的数学题之一）。

有几种方法，都可以证明转换选项能够赢得汽车的概率更大。

穷举法。

即列举所有的可能性，然后数出这个概率。

这个方法在这个问题中可行，因为可能的情况并不多。

第一次选羊1，主持人打开羊2，不变得羊1，变得车第一次选羊2，主持人打开羊1，不变得羊2，变得车第一次选车，主持人打开任意羊，不变车车，变得羊（也可以算两次，但是主持人选两次的羊的每次的概率明显不是和第一二种情况等同的，而是第三种情况里的两种小情况）这样算的话，共六种情况，在主持人打开一扇门后，变换选择时赢车的概率是2/3,不变得车的概率是1/3，所以当然要变换选项。

等效替代法在主持人还没有打开门时，我们都知道三扇门后面有一个是车，两个是羊，那么第一次选择的时候，选中车的概率是1/3，这个结论显而易见,，即获胜的概率是1/3。

那么失败的概率就是2/3。

当主持人为你排除掉一个错误答案后，此时假设你第一次的选择获胜已经被我们知道，你变换选项，就一定是失败变成功或者是成功变失败，那么转换的话获胜的概率就是1-1/3=2/3，同理，失败的概率是1-2/3=1/3，即转换选项成功的概率更大，所以要变换选项。

条件概率法在做第一个判断的时候，这是一个典型的古典概型，即选对的概率是1/3，这个就不再多说。

关键是第二个问题，当主持人打开了一扇后面是羊的门后，我们要怎么选。

很多人觉得此时，不论变不变换，获胜的概率都是1/2，因为你已经知道剩下的两个门中肯定有一扇后面是汽车。

但是这就犯了概率问题的错误，因为这不是一个独立的事件，而是一个系列的事件，所以他不是古典概型而是条件概型，你第一次做出的选择仍对第二次选择时产生影响。

此时如果不换，则主持人的动作对第二次选择没有影响，则获胜的概率还是1/3；如果换，则主持人的动作就有影响了，这就是一个条件概率，此时被排除掉的错误答案增加了再选择的获胜的可能性，即1/3+1/3=2/3，所以当然要变换。

至于第二个问题，其实到现在我也没有怎么搞明白。

电影为了不让观众猜到他们具体使用什么方法获胜的故意对21点的玩法采取了蒙太奇的电影处理手法，让观众只感受到整个团队在紧张有序地分工合作，然后轻松赚取赌场的钱，突出强调在金钱中、在欲望中、在纸醉金迷中失去自我、极度享乐的，之后猛然堕落，体会到其实生活的本质还是脚踏实地。

其实这说的真的很对，今天刚好又读到芮成钢写的一篇文章，他从2008年世界金融危机中总结道，现在玩金融的人多了，都想用钱滚钱、钱生钱，努力脚踏实地做实业的少了，但是一旦金融危机爆发，世界上能撑得住的都是德国、日本这样制造业雄厚的国家，因为实业是永远也跑不掉的，而金融不过是银行账户里的数字，多多少少只是瞬间的事情。

对国家如此，人也一样。

想靠赌博、靠股票、靠金融工具一夜暴富的梦，做做可以，只供消遣和娱乐，一旦作为身家，那就是来的快，去的也快了。

不论何时，脚踏实地，才是王道。

上网查阅了相关资料后，其实这个通过记牌提高赢得概率的方法其实蛮简单。

这里也懒得再多讲，只是没有电影中那么邪乎罢了。

而且，目前赌场都配备了人脸识别系统，还有高级的洗牌机，每次用几副牌都是随机的，这种记牌方法也再也行不通了。

所以，仅当高智商最后的消遣娱乐好了。

关于电影里那个有名的概率论的问题，之所以很多人认为是错的，那是因为被自己的直觉误导了。

其实我们可以来计算一下，参赛者在主持人第二次询问是“坚持自己的选择”还是“更换选择”两种情况的胜率。

设事件“不换”胜率为P1，事件“更换”为P2。

“不换”获胜的条件很简单，就是第一次就抽中羊，所以P1=1/3=33%。

“更换”获胜的条件也很简单就是第一次抽中羊，因为主持人会打开另一扇后面是羊的门，所以就只剩下车子了。

所以第一次无论抽中哪只羊都无所谓，P2=2/3=66.7%。

--以上的计算人家已经算过了，我们来算点不一样的。

现在我们给题目加上一只羊，也就是一共有4扇门，后面是一辆车，三只羊。

主持人同样在参赛者选择一扇门之后，打开一扇有羊的门，再问参赛者是坚持“不换”，还是“更换”。

同样设为概率P1、P2。

P1=1/4（第一次抽中车）P2=3/4(第一次抽中羊)*1/2(在剩下的两扇门里选中羊)=3/8至于为什么剩下两扇门应该不用解释吧，第一次选了一扇，主持人排除了一扇，所以剩下4-2=2扇。

P2>P1，所以应该“更换”。

如果再加一只羊，也就是1车，4羊。

P1=1/5=3/15P2=4/5*1/3=4/15P2>P1，所以还是要”更换“-.... ..加了很多很多羊之后，总共有N扇门，其中车1辆，羊N-1只。

P1=1/NP2=(N-1)/N * 1/(N-2)=(N-1)/N(N-2)P2-P1=(N-1)/N(N-2)-1/N=(N-1)/N(N-2)-(N-2)/N(N-2)=1/N(N-2)>0所以P2>P1，需要”更换“。

---我已经很无聊了，有没有人在此基础上再加几辆车什么的！！！

很适合休闲的时候观看的影片，虽然是用高智商的作弊说事，但是其实并没有深入讲解，所以不理解也不影响什么。

而且片子本身好像也就不打算用技巧说事，它只是粗略的讲了一个nerd如何变成某种程度的prince charming的故事。

片中唯一真的涉及到概率计算的问题就是开篇的那个车或者羊的选择题。

个人同意片中的计算结果，换了弄到车的概率更高。

但是，解释的方式不太一样。

我的考虑过程是这样的：首先第一次选择，选中羊的概率是2/3，而选中车的概率是1/3，这是显而易见的。

然后主持人打开了一扇后面有羊的门，现在只有两扇关着的门，主持人让选手做第二次选择，是不是把刚刚选择的门换成另一扇。

这个时候，选手刚开始选择的情况只有两种，第一种，如果第一次选择了车，那么换掉，车就没有了，这种可能性是1/3.这个时候不换就能得到车。

第二种，一开始选择了羊，而主持人开启的门后面也是羊，所以这个时候换的话，只有一扇门可以选，那扇门后面就是车，换的话一定会换到车，而这种情况发生的概率就是2/3.所以综上所述，换掉得车的概率是2/3，不换就是1/3。

但是这个概率其实并不是单纯的“换”这个动作决定的，而是取决于选手第一次选择了什么。

其实是第一次的选择决定了后面是车还是羊，不管之后做出了什么决定，都会和第一次的选择有关系。

就像主人公走过的路，如果他一开始经得起诱惑，不去参加那个21点团队，而是老老实实的完成那个2.09的项目，他说不定可以通过赢得比赛拿到奖学金。

而不会在赌城作弊（个人觉得片子里的做法虽然没有在赌具上做文章，但是确实算得上作弊了，因为他们是在团队合作，而且没有让赌场知道，这应该已经算是作弊了。

）被揍，还几乎没赚到钱。

但是概率就是这样，它是对于个体意义并不大的东西，如果有3000个人玩这个游戏，那么如果大家都换，就有可能2000个人拿到车，1000个人拿到羊，这就是概率的胜利，但是那2000辆别人的车永远也不会让牵着羊的1000个人心情好起来。

所以对于只能玩一次游戏的人，你不会知道你是不是就是第一次就选中了车的那个少数的“幸运”家伙，所以就算是换这个动作把拿到车的概率增加到99%，你也可能成为1%的那个。

所以就算是他留下来参加比赛，他也不一定能够夺得冠军，也不一定会真的重视他身边的朋友，也说不定依然会觉得nerd是个让他抬不起头的身份。

赌城虽然没有让他赚到钱，但是他确实得到了说得上“闪光”的经历，而这些经历比现金更有价值。

影片的开头和结尾，都是主人公坐在奖学金评审的面前说着自己的简历，但是你能发现发生在主人公身上的变化，这就是电影想表达的东西吧，就像那个凯文扮演的教授说的，你永远得把变量考虑进去。

个人认为，电影最能打动人的，就是能在短时间内体现一个变化的过程，而这个过程如果是正向的，那就更容易让人接受。

回到车或者羊的那个选择，其实怎么做都不可能保证你能拿到后面的那辆车，就像每一次做选择的时候，无论考虑的多么周全，也不可能把所有的问题考虑进去，周密的思考只是能在某种程度上降低犯低级错误的概率，而不能避免犯错误。

其实只要是有不能实现确定的变量存在的东西，就是某种意义上的赌博，只是有的时候赢得机会大有的时候小，有的时候你想全力以赴有的时候你只想碰碰运气。

不过无论怎样，都不可能确保胜利，所以也许面对失败是无论如何都得学习的东西。

所以在学开车的时候，说不定可以抽点休息时间同时看看怎样养羊。